У Таргариенов было одно преимущество, которое отсутствует у любого другого великого дома. И это даже не вымершие полтора века назад драконы. Таргариены - чужой дом по отношению к вестеросцам. Они не являются ни северянами, ни дорнийцами и т.д. За счет этого они могли выступать в роли некоего третейского судьи, потенциально не связанного с какой-либо конкретной частью семи королевств, тем самым гарантируя отсутствие серьезного перевеса в пользу одного из домов. Этим они удовлетворяли все остальные дома, поддерживая баланс сил.
Когда к власти пришел штормовик Роберт, то он практически сразу же забил на управление страной, не продвигая своих людей из ШЗ. Вообще у него и быть не могло, т.к. выросший в Долине, он по-просту не успел обзавестись нужными связями в своем родном гранлордстве. Но, когда вместо Аррена, пытавшегося поддерживать какое-никакое равновесие, к власти приходят Ланнистеры, то, как замечал даже сам король - "Меня окружают одни Ланнистеры". Более того, кто у власти в королевстве к концу ВПК? Ланнистер Тайвин, его брат Киван, сама королева-мать Серсея, королевскими войсками(т.е. войсками тех же Ланнистеров по сути) командуют Джейме и Давен. Практически нет людей из других грандлордств, только Тиреллы. Сомневаюсь что подобный расклад устраивает Долину и Дорн, а по окончании войны устроит будущих лордов ШЗ, РЗ и Севера.
Представим гипотетическую ситуацию - Томмен умирает молодым, оставив все своему сыну от Маргери, а ее саму - регентом. Что сделают Тиреллы? Поделят места в малом совете по справедливости между всеми? Сомневаюсь. Опять же, что если вновь начнется война с каким-нибудь Эдриком Штормом? Полагаться в подобных критических ситуациях можно либо на своих, либо на людей с теми же интересами. Последних, как правило, много не бывает.
Возвращаясь к таргам, у них не было "своих" во власти. Вернее, первоначально такими были Веларионы, но они уже давно сошли со сцены.